फलन f : R rightarrow R,जो f(x) = frac{(x + 1) | vedclass

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Question

(C) $f(x) = \frac{(x + 1)^4}{x^4 + 1}$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित देखते हैं:$1$. चूंकि $(x+1)^4 \geq 0$ और सभी $x \in R$ के लिए $x^4 + 1

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$[0, 8]$

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(C) $f(x) = \frac{(x + 1)^4}{x^4 + 1}$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित देखते हैं:$1$. चूंकि $(x+1)^4 \geq 0$ और सभी $x \in R$ के लिए $x^4 + 1 > 0$ है,इसलिए $f(x)$ का न्यूनतम मान $0$ है (जब $x = -1$ हो)।$2$. अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पावर मीन असमिका या जेन्सेन की असमिका का उपयोग करते हैं। उत्तल फलन $g(t) = t^4$ के लिए,जेन्सेन की असमिका के अनुसार:$\frac{g(x) + g(1)}{2} \geq g\left(\frac{x+1}{2}\right)$$\frac{x^4 + 1}{2} \geq \left(\frac{x+1}{2}\right)^4 = \frac{(x+1)^4}{16}$$3$. असमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर:$\frac{(x+1)^4}{x^4 + 1} \leq \frac{16}{2} = 8$$4$. अतः,फलन का परिसर $[0, 8]$ है।

फलन $f : R \rightarrow R$,जो $f(x) = \frac{(x + 1)^4}{x^4 + 1}$ द्वारा परिभाषित है,का परिसर (range) ज्ञात कीजिए।

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