प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में परिभाषित सं | vedclass

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Question

(D) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in N$ के लिए,$a$ संख्या $a$ से विभाज्य है (क्योंकि $a = a 	imes 1$)। अतः,सभी $a \in N$ के लिए $aRa$ सत्य है। इसलिए,$

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इनमें से कोई नहीं

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(D) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in N$ के लिए,$a$ संख्या $a$ से विभाज्य है (क्योंकि $a = a 	imes 1$)। अतः,सभी $a \in N$ के लिए $aRa$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।$2$. सममितता: मान लीजिए $a=1$ और $b=2$ है। यहाँ,$1|2$ सत्य है,इसलिए $1R2$ मान्य है। हालाँकि,$2|1$ असत्य है,इसलिए $2R1$ मान्य नहीं है। अतः,$R$ सममित नहीं है।$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $aRb$ और $bRc$ है। इसका अर्थ है कि $a|b$ और $b|c$ है। चूँकि $a|b$,तो एक $k_1 \in N$ मौजूद है जिससे $b = a 	imes k_1$। चूँकि $b|c$,तो एक $k_2 \in N$ मौजूद है जिससे $c = b 	imes k_2$। $b$ का मान रखने पर,$c = (a 	imes k_1) 	imes k_2 = a 	imes (k_1 	imes k_2)$। चूँकि $k_1 	imes k_2 \in N$,इसलिए $a|c$ सत्य है,अतः $aRc$ मान्य है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।निष्कर्ष: यह संबंध स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ में परिभाषित संबंध $R$,जहाँ $aRb \iff b$ संख्या $a$ से विभाज्य है,वह है:

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वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$xRy$ यदि और केवल यदि $x - y + \sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है। तब $R$ है:

समुच्चय $A$ पर रिक्त संबंध (empty relation) है

$R$ पर निम्नलिखित में से कौन सा संबंध एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) है?

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