સમીકરણ $x^4 - 1 = 0$ ના બીજ કયા છે?

જો $\alpha, \beta$ એ $1+x+x^2=0$ ના બીજ હોય,તો $\alpha^4+\beta^4+\alpha^{-4}\beta^{-4}$ ની કિંમત શોધો.

$n > 1$ અને $n \in N$ માટે, જો $z_1, z_2, \ldots, z_n$ એ સમીકરણ $(z+1)^n = z^n$ ના બીજ હોય, તો $\sum_{i=1}^{n-1} \frac{\cot^{-1}(2|\operatorname{Im} z_i|) - 1}{2 \operatorname{Re} z_i} = $

જો $\cos \theta + i \sin \theta, \theta \in R$, એ સમીકરણ $a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x + a_n = 0$ નું બીજ હોય, જ્યાં $a_0, a_1, \ldots, a_n \in R$ અને $a_0 \neq 0$, તો $a_1 \sin \theta + a_2 \sin 2 \theta + \ldots + a_n \sin n \theta$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 - \sqrt{2}x + 1 = 0$ ના બીજ છે,તો $\alpha^{50} + \beta^{50}$ ની કિંમત શોધો.

શૂન્યતર સંકર સંખ્યા $z$ માટે,ધારો કે $\arg (z)$ એ $z$ નો મુખ્ય કોણાંક દર્શાવે છે,જ્યાં $-\pi < \arg (z) \leq \pi$ છે. ધારો કે $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે જેના માટે $0 < \arg (\omega) < \pi$ છે. ધારો કે $\alpha = \arg \left(\sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n\right)$. તો $\frac{3 \alpha}{\pi}$ નું મૂલ્ય $.....$ છે.