t = frac{pi}{4} पर a cos^3 t के सापेक्ष a sin | vedclass

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Question

(C) माना $y = a \sin^3 t$ और $x = a \cos^3 t$ है। सबसे पहले, हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं: $

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$\frac{4 \sqrt{2}}{3 a}$

Vedclass · Answer

(C) माना $y = a \sin^3 t$ और $x = a \cos^3 t$ है। सबसे पहले, हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं: $\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$ $\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -	an t$. अब, हम $x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{dx^2}$ ज्ञात करते हैं: $\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-	an t) = \frac{d}{dt}(-	an t) \cdot \frac{dt}{dx} = (-\sec^2 t) \cdot \frac{1}{-3a \cos^2 t \sin t} = \frac{1}{3a \cos^4 t \sin t}$. $t = \frac{\pi}{4}$ पर मान रखने पर: $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $\left. \frac{d^2 y}{dx^2} ight|_{t=\pi/4} = \frac{1}{3a (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{1}{3a (\frac{1}{4}) (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{4\sqrt{2}}{3a}$.

$t = \frac{\pi}{4}$ पर $a \cos^3 t$ के सापेक्ष $a \sin^3 t$ का द्वितीय कोटि का अवकलज क्या है?

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