समुच्चय $\{-1, 0, 1\}$ एक गुणात्मक समूह (multiplicative group) नहीं है,क्योंकि इसमें किस नियम का पालन नहीं होता है?

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषाओं में से कौन सी एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है। यदि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसके लिए औचित्य दीजिए। $Z^{+}$ पर,$*$ को $a * b = a$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

पूर्णांकों के समुच्चय $(Z, *)$ में,यदि $a * b = a + b - n, \forall a, b \in Z$ है,जहाँ $n$ एक निश्चित पूर्णांक है,तो $(-n)$ का प्रतिलोम (inverse) क्या है:

मान लीजिए कि $*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $a * b = \frac{ab}{4}$ के रूप में परिभाषित है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

सिद्ध कीजिए कि $R$ पर योग के लिए $0$ तत्समक है और $R$ पर गुणन के लिए $1$ तत्समक है। लेकिन संक्रियाओं $-: R \times R \rightarrow R$ और $\div : R_* \times R_* \rightarrow R_*$ के लिए कोई तत्समक अवयव नहीं है।

सिद्ध कीजिए कि $(a, b) \rightarrow \max\{a, b\}$ द्वारा प्रदत्त $\vee: R \times R \rightarrow R$ और $(a, b) \rightarrow \min\{a, b\}$ द्वारा प्रदत्त $\wedge: R \times R \rightarrow R$ द्विआधारी संक्रियाएँ (binary operations) हैं।