એક રેખાનો ઢાળ બીજી રેખાના ઢાળ કરતા બમણો છે. જો તેમની વચ્ચેના ખૂણાનો સ્પર્શક (tangent) $\frac{1}{3}$ હોય,તો રેખાઓના ઢાળ શોધો.

(N/A) ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે,જ્યાં $m_{1} = 2m_{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો બે રેખાઓના ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ હોય,તો તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$ થાય.
આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{1}{3},$ તેથી $\frac{1}{3} = \left| \frac{2m_{2} - m_{2}}{1 + (2m_{2})m_{2}} \right| = \left| \frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} \right|$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = \frac{1}{3}$ અથવા $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = -\frac{1}{3}$.
કિસ્સો $I$: $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow 2m_{2}^{2} - 3m_{2} + 1 = 0$ $\Rightarrow (2m_{2} - 1)(m_{2} - 1) = 0$.
તેથી,$m_{2} = \frac{1}{2}$ (જેનાથી $m_{1} = 1$ મળે) અથવા $m_{2} = 1$ (જેનાથી $m_{1} = 2$ મળે).
કિસ્સો $II$: $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = -\frac{1}{3}$ $\Rightarrow 2m_{2}^{2} + 3m_{2} + 1 = 0$ $\Rightarrow (2m_{2} + 1)(m_{2} + 1) = 0$.
તેથી,$m_{2} = -\frac{1}{2}$ (જેનાથી $m_{1} = -1$ મળે) અથવા $m_{2} = -1$ (જેનાથી $m_{1} = -2$ મળે).
આમ,ઢાળની શક્ય જોડીઓ $(1, \frac{1}{2}), (2, 1), (-1, -\frac{1}{2}), (-2, -1)$ છે.