अवकल समीकरण (x - y^2x)dx = (y - x^2y)dy का हल | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x - y^2x)dx = (y - x^2y)dy$ है।दोनों पक्षों का गुणनखंड करने पर,$x(1 - y^2)dx = y(1 - x^2)dy$ प्राप्त होता है।चरों को अलग कर

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$(1 - y^2) = c^2(1 - x^2)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x - y^2x)dx = (y - x^2y)dy$ है।दोनों पक्षों का गुणनखंड करने पर,$x(1 - y^2)dx = y(1 - x^2)dy$ प्राप्त होता है।चरों को अलग करने पर,$\frac{x}{1 - x^2}dx = \frac{y}{1 - y^2}dy$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{x}{1 - x^2}dx = \int \frac{y}{1 - y^2}dy$ प्राप्त होता है।माना $u = 1 - x^2$,तब $du = -2xdx$,अतः $xdx = -\frac{1}{2}du$। इसी प्रकार,$ydy = -\frac{1}{2}dv$ जहाँ $v = 1 - y^2$ है।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u}du = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{v}dv + C$ प्राप्त होता है।$-\frac{1}{2} \ln|1 - x^2| = -\frac{1}{2} \ln|1 - y^2| + \ln c$।$-2$ से गुणा करने पर,$\ln|1 - x^2| = \ln|1 - y^2| - 2\ln c$ प्राप्त होता है।$\ln|1 - x^2| - \ln|1 - y^2| = \ln(c^{-2})$।$\ln|\frac{1 - x^2}{1 - y^2}| = \ln(c^{-2})$।$\frac{1 - x^2}{1 - y^2} = \frac{1}{c^2}$।अतः,$(1 - y^2) = c^2(1 - x^2)$।

अवकल समीकरण $(x - y^2x)dx = (y - x^2y)dy$ का हल ज्ञात कीजिए।

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