frac{1}{(1 + a)(2 + a)} + frac{1}{(2 + a)(3 + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n + a)(n + 1 + a)}$ છે.આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીને,$n$-મું પદ $T_n$ આ રીતે લખી શકાય:$T_n =

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{1 + a}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n + a)(n + 1 + a)}$ છે.આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીને,$n$-મું પદ $T_n$ આ રીતે લખી શકાય:$T_n = \frac{1}{(n + a)(n + 1 + a)} = \frac{1}{n + a} - \frac{1}{n + 1 + a}$.હવે,પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n$ લખીએ:$S_n = T_1 + T_2 + T_3 + \dots + T_n$$S_n = \left( \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{2 + a} ight) + \left( \frac{1}{2 + a} - \frac{1}{3 + a} ight) + \left( \frac{1}{3 + a} - \frac{1}{4 + a} ight) + \dots + \left( \frac{1}{n + a} - \frac{1}{n + 1 + a} ight)$.આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જેમાં વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે:$S_n = \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{n + 1 + a}$.અનંત સુધીનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $n 	o \infty$ લઈએ છીએ:$S_{\infty} = \lim_{n 	o \infty} \left( \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{n + 1 + a} ight) = \frac{1}{1 + a} - 0 = \frac{1}{1 + a}$.

$\frac{1}{(1 + a)(2 + a)} + \frac{1}{(2 + a)(3 + a)} + \frac{1}{(3 + a)(4 + a)} + \dots + \infty$ નું મૂલ્ય શું છે,(જ્યાં $a$ એક અચળાંક છે).

Similar Questions

જો શ્રેણી ${\left( {1\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {2\frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {3\frac{1}{5}} \right)^2} + {4^2} + \dots$ ના પ્રથમ દસ પદોનો સરવાળો $\frac{16}{5}m$ હોય,તો $m$ ની કિંમત શોધો:

શ્રેણી $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ ના $50$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

એક $G.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો અને પ્રથમ છ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $125: 152$ છે. $G.P.$ નો સામાન્ય તફાવત (common ratio) શોધો. ($/5$ માં)

જો $\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots + \infty = \frac{\pi^4}{90}$ હોય,તો $\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \dots + \infty$ ની કિંમત શોધો.

જો $a, b, c \in \mathbb{R}^+$ એવા હોય કે જેથી $2a, b, 4c$ એ $A.P.$ માં હોય અને $c, a, b$ એ $G.P.$ માં હોય,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module