mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{{(1 + x)} | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $(1 + x)^{1/x} = e^{\frac{1}{x} \ln(1 + x)}$.$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ के विस्तार का उपयोग करने पर:

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{11e}{24}$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि $(1 + x)^{1/x} = e^{\frac{1}{x} \ln(1 + x)}$.$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ के विस्तार का उपयोग करने पर:$(1 + x)^{1/x} = e^{\frac{1}{x}(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots)} = e^{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots}$.$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ के विस्तार का उपयोग करने पर,जहाँ $u = -\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots$:$(1 + x)^{1/x} = e \left[ 1 + (-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3}) + \frac{1}{2}(-\frac{x}{2})^2 + O(x^3) ight]$$= e \left[ 1 - \frac{x}{2} + \frac{11x^2}{24} + O(x^3) ight]$.इस मान को सीमा में रखने पर:$\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{e(1 - \frac{x}{2} + \frac{11x^2}{24}) - e + \frac{ex}{2}}{x^2} = \frac{11e}{24}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + x)}^{1/x}} - e + \frac{1}{2}ex}}{{{x^2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\left[ {1 - \tan \left( {\frac{x}{2}} \right)} \right]\,[1 - \sin x]}}{{\left[ {1 + \tan \left( {\frac{x}{2}} \right)} \right]\,{{[\pi - 2x]}^3}}}$ का मान है

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(\sqrt{x}-1)}{2 x^2+x-3}$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2 x = $

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} n^{-n k} \left\{(n+1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(n+\frac{1}{2^2}\right) \ldots\left(n+\frac{1}{2^{k-1}}\right)\right\}^n=$

$R$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित नियमित $n$-भुज के परिमाप की सीमा जब $n \to \infty$ हो,तो क्या होगी?

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