प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण (varianc | vedclass

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Question

(A) प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2$ है। प्रथम $n$ प्राकृतिक

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$\frac{n^2 - 1}{12}$

Vedclass · Answer

(A) प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2$ है। प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,$\sum x_i = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sigma^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} - \left( \frac{n(n+1)}{2n} \right)^2$ $\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$ $\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$ $\sigma^2 = \frac{(n+1) [4n + 2 - 3n - 3]}{12}$ $\sigma^2 = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}$.

वर्ग	$0-10$	$10-20$	$20-30$	$30-40$	$40-50$
आवृत्ति	$5$	$8$	$15$	$16$	$6$

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण (variance) क्या है?

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निम्नलिखित आवृत्ति वितरण के लिए माध्य और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

वर्ग $0-10$ $10-20$ $20-30$ $30-40$ $40-50$

आवृत्ति $5$ $8$ $15$ $16$ $6$

$^{10}C_0, ^{10}C_1, ^{10}C_2, \dots, ^{10}C_{10}$ का प्रसरण (variance) ज्ञात कीजिए:

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