तीन संख्याएँ एक बढ़ते हुए गुणोत्तर श्रेणी (G. | vedclass

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Question

(B) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं। चूँकि श्रेणी बढ़ रही है,इसलिए $r > 1$ है। यदि मध्य संख्या को दोगुना किया जाता है,तो अनुक्रम

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$7+\sqrt{3}$

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(B) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं। चूँकि श्रेणी बढ़ रही है,इसलिए $r > 1$ है। यदि मध्य संख्या को दोगुना किया जाता है,तो अनुक्रम $\frac{a}{r}, 2a, ar$ हो जाता है,जो $A.P.$ में है। अतः,$2(2a) = \frac{a}{r} + ar$ $\Rightarrow 4 = \frac{1}{r} + r$ $\Rightarrow r^{2} - 4r + 1 = 0$। $r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है। चूँकि $G.P.$ बढ़ रही है,इसलिए $r = 2 + \sqrt{3}$। $G.P.$ का चौथा पद $ar^{2} = 3r^{2}$ है,जिसका अर्थ है $a = 3$। $A.P.$ का सार्व अंतर $d = 2a - \frac{a}{r} = 2(3) - \frac{3}{2+\sqrt{3}} = 6 - 3(2-\sqrt{3}) = 6 - 6 + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$। अब,$r^{2} - d = (2+\sqrt{3})^{2} - 3\sqrt{3} = (4 + 3 + 4\sqrt{3}) - 3\sqrt{3} = 7 + \sqrt{3}$।

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