एक फलन f जो सभी x के लिए f'( sin x ) = cos^2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f'(\sin x) = \cos^2 x$. माना $t = \sin x$,तब $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t^2$. अतः,$f'(t) = 1 - t^2$. दोनों पक्षों का $t$ के सा

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$f(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3}$

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(A) दिया गया है कि $f'(\sin x) = \cos^2 x$. माना $t = \sin x$,तब $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t^2$. अतः,$f'(t) = 1 - t^2$. दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $f(t) = \int (1 - t^2) dt = t - \frac{t^3}{3} + C$. दिया गया है कि $f(1) = 1$,इसलिए $t = 1$ रखने पर: $1 = 1 - \frac{1^3}{3} + C \Rightarrow 1 = 1 - \frac{1}{3} + C \Rightarrow C = \frac{1}{3}$. इस प्रकार,$f(t) = t - \frac{t^3}{3} + \frac{1}{3}$. $t$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

एक फलन $f$ जो सभी $x$ के लिए $f'( \sin x ) = \cos^2 x$ और $f(1) = 1$ को संतुष्ट करता है,वह है :

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