(1+x+x^2)^8 में x^5 का गुणांक ज्ञात कीजिए। | vedclass

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Question

(D) $(1+x+x^2)^8$ के विस्तार में सामान्य पद $\frac{8!}{n_1! n_2! n_3!} (1)^{n_1} (x)^{n_2} (x^2)^{n_3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_1 + n_2 + n_3 = 8$

Vedclass · Accepted Answer

$504$

Vedclass · Answer

(D) $(1+x+x^2)^8$ के विस्तार में सामान्य पद $\frac{8!}{n_1! n_2! n_3!} (1)^{n_1} (x)^{n_2} (x^2)^{n_3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_1 + n_2 + n_3 = 8$ और $n_2 + 2n_3 = 5$ है।हम $(n_1, n_2, n_3)$ के लिए गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हल ज्ञात करते हैं:$1$. यदि $n_3 = 0$,तो $n_2 = 5$,अतः $n_1 = 8 - 5 - 0 = 3$. गुणांक: $\frac{8!}{3! 5! 0!} = 56$.$2$. यदि $n_3 = 1$,तो $n_2 = 3$,अतः $n_1 = 8 - 3 - 1 = 4$. गुणांक: $\frac{8!}{4! 3! 1!} = 280$.$3$. यदि $n_3 = 2$,तो $n_2 = 1$,अतः $n_1 = 8 - 1 - 2 = 5$. गुणांक: $\frac{8!}{5! 1! 2!} = 168$.इन गुणांकों का योग: $56 + 280 + 168 = 504$.अतः,$x^5$ का गुणांक $504$ है।

$(1+x+x^2)^8$ में $x^5$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

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$(\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x > 0$ के लिए व्यंजक $(5+x)^{500} + x(5+x)^{499} + x^{2}(5+x)^{498} + \ldots + x^{500}$ में $x^{101}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

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$x \in R, x \neq -1$ के लिए, यदि $(1+x)^{2016} + x(1+x)^{2015} + x^2(1+x)^{2014} + \dots + x^{2016} = \sum_{i=0}^{2016} a_i \cdot x^i$ है, तो $a_{17}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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