यदि y = sinh^{-1}left(frac{1-x}{1+x}right) है | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y = \sinh^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$।श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}(\sinh^{-1}(u))

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$\frac{-\sqrt{2}}{|1+x| \sqrt{1+x^2}}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $y = \sinh^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$।श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}(\sinh^{-1}(u)) \cdot \frac{du}{dx}$,जहाँ $u = \frac{1-x}{1+x}$ है।$\sinh^{-1}(u)$ का अवकलन $\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}$ होता है।अब,$\frac{du}{dx} = \frac{(1+x)(-1) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$।इन मानों को श्रृंखला नियम में रखने पर:$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{(\frac{1-x}{1+x})^2 + 1}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$।$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{\frac{(1-x)^2 + (1+x)^2}{(1+x)^2}}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$।$\frac{dy}{dx} = \frac{|1+x|}{\sqrt{1-2x+x^2+1+2x+x^2}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$।$\frac{dy}{dx} = \frac{|1+x|}{\sqrt{2+2x^2}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2} = \frac{|1+x|}{\sqrt{2}\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$।चूँकि $\frac{|1+x|}{(1+x)^2} = \frac{1}{|1+x|}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sqrt{2}}{|1+x|\sqrt{1+x^2}}$।

यदि $y = \sinh^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

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