यदि $\theta$,वृत्त $S \equiv x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ द्वारा $P(x_1, y_1)$ पर अंतरित कोण है,तो

$2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त $C$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है। मान लीजिए कि $r$ उस वृत्त की त्रिज्या है जिसका केंद्र $(2, 5)$ बिंदु पर है और जो वृत्त $C$ को ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। यदि $r$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय अंतराल $(\alpha, \beta)$ है,तो $3 \beta - 2 \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ पर स्थित एक बिंदु से वृत्त $x^2 + y^2 = b^2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा,वृत्त $x^2 + y^2 = c^2$ को स्पर्श करती है,तो $a, b, c$ किसमें हैं?

यदि बिंदु $(1, 4)$ वृत्त $x^2 + y^2 - 6x - 10y + p = 0$ के अंदर स्थित है और वृत्त निर्देशांक अक्षों को स्पर्श या प्रतिच्छेद नहीं करता है,तो $p$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय कौन सा अंतराल है?

वक्रों $C_1: y^2=4x$ और $C_2: x^2+y^2-6x+1=0$ पर विचार करें। कथन $(A)$: वक्रों $C_1$ और $C_2$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं। कारण $(R)$: $x-y+1=0$ और $x+y+1=0$ वक्रों $C_1$ और $C_2$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।

दिए गए वृत्त $2x^2 + 2y^2 = 5$ और परवलय $y^2 = 4\sqrt{5}x$ के लिए:
कथन-$I$: इन वक्रों की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $y = x + \sqrt{5}$ है।
कथन-$II$: यदि रेखा $y = mx + \frac{\sqrt{5}}{m} (m \neq 0)$ एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है,तो $m$,$m^4 - 3m^2 + 2 = 0$ को संतुष्ट करता है।