જો $2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$, $-12 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$, $-\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$ અને $\lambda \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ એ ચાર સમતલીય બિંદુઓના સ્થાન સદિશો હોય, તો $\lambda=$

કોઈપણ ત્રણ શૂન્યતર સદિશો $\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}$ અને $\vec{r}_{3}$ માટે,નિશ્ચાયક $\left| \begin{matrix} \vec{r}_{1} \cdot \vec{r}_{1} & \vec{r}_{1} \cdot \vec{r}_{2} & \vec{r}_{1} \cdot \vec{r}_{3} \\ \vec{r}_{2} \cdot \vec{r}_{1} & \vec{r}_{2} \cdot \vec{r}_{2} & \vec{r}_{2} \cdot \vec{r}_{3} \\ \vec{r}_{3} \cdot \vec{r}_{1} & \vec{r}_{3} \cdot \vec{r}_{2} & \vec{r}_{3} \cdot \vec{r}_{3} \end{matrix} \right| = 0$ છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?

જો જેમના સ્થાન સદિશો $3i - 2j - k,$ $2i + 3j - 4k,$ $-i + j + 2k,$ અને $4i + 5j + \lambda k$ છે તેવા બિંદુઓ એક જ સમતલમાં આવેલા હોય,તો $\lambda = $

કિંમત શોધો: $\vec{a} \cdot \{(\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\}$

ધારો કે $a=\hat{i}+\hat{j}$, $b=\hat{j}+\hat{k}$ અને $c=\hat{i}+\hat{k}$ છે. જો $d$ એક એવો એકમ સદિશ હોય કે જેથી $a \cdot d=0$ અને $b \cdot(c \times d)=0$ થાય, તો $d=$

જો $a, b$ અને $c$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $p, q$ અને $r$ સદિશો $p=\frac{b \times c}{[a b c]}, q=\frac{c \times a}{[a b c]}, r=\frac{a \times b}{[a b c]}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $(a+b) \cdot p+(b+c) \cdot q+(c+a) \cdot r$ ની કિંમત શું થાય?