જો બિંદુ $P(x, y)$ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી તેના યામોના વર્ગોનો સરવાળો તેમના ગુણાકાર જેટલો થાય,તો ઉગમબિંદુ સિવાય $P$ નો બિંદુપથ શું છે?

એક બિંદુનો બિંદુપથ જે એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તેનું $(0,0)$ થી અંતર તેના $x$-અક્ષથી અંતર કરતા ત્રણ ગણું હોય,તે નીચેનામાંથી કયું છે?

જો $P$ માંથી $x^2+y^2-2x+4y-20=0$ અને $x^2+y^2-2x-8y+1=0$ વર્તુળો પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $2:1$ હોય,તો $P$ નો બિંદુપથ શોધો.

બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના યામ $(ak, 0)$ અને $(\frac{a}{k}, 0)$ છે,જ્યાં $k = \pm 1$. જો બિંદુ $P(x, y)$ એવી રીતે ગતિ કરે કે જેથી $PA = kPB$ થાય,તો $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શું છે?

ધારો કે $RS$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=1$ નો વ્યાસ છે,જ્યાં $S$ એ બિંદુ $(1,0)$ છે. ધારો કે $P$ એ વર્તુળ પરનું એક ચલ બિંદુ ($R$ અને $S$ સિવાયનું) છે અને $S$ તથા $P$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $Q$ માં મળે છે. $P$ આગળનો અભિલંબ $Q$ માંથી પસાર થતી અને $RS$ ને સમાંતર રેખાને બિંદુ $E$ માં છેદે છે. તો $E$ નો બિંદુપથ નીચેનામાંથી કયા બિંદુ(ઓ) માંથી પસાર થાય છે?
$(A)$ $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ $(B)$ $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ $(C)$ $\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ $(D)$ $\left(\frac{1}{4},-\frac{1}{2}\right)$

$t \in (0, 2\pi)$ માટે,જો $ABC$ એ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(\sin t, -\cos t)$,$B(\cos t, \sin t)$ અને $C(a, b)$ છે,અને તેનું લંબકેન્દ્ર $(1, 1/3)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલું હોય,તો $(a^2 - b^2)$ ની કિંમત શોધો.