यदि वृत्तों x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 और 2x^2+2y^2+ | vedclass

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Question

(A) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की मूल अक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है। पहले,दूसरे वृत्त को सामान्यीकृत करें: $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$. दोनो

Vedclass · Accepted Answer

$g=\frac{3}{4}$ या $f=2$

Vedclass · Answer

(A) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ की मूल अक्ष $S_1-S_2=0$ द्वारा दी जाती है। पहले,दूसरे वृत्त को सामान्यीकृत करें: $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$. दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(x^2+y^2+2gx+2fy+c) - (x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c) = 0$. यह सरल होकर $x(2g-\frac{3}{2}) + y(2f-4) = 0$ हो जाता है। वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए इसका केंद्र $(-1, -1)$ और त्रिज्या $1$ है। मूल अक्ष इस वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(-1, -1)$ से रेखा $x(2g-\frac{3}{2}) + y(2f-4) = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $1$ के बराबर होनी चाहिए। $\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4))^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$. मान लीजिए $A = (2g-\frac{3}{2})$ और $B = (2f-4)$. तब $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,जिसका अर्थ है $A^2+B^2+2AB = A^2+B^2$,अर्थात $2AB=0$. अतः,$A=0$ या $B=0$. $2g-\frac{3}{2}=0 \Rightarrow g=\frac{3}{4}$ या $2f-4=0 \Rightarrow f=2$.

यदि वृत्तों $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ और $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ की मूल अक्ष (radical axis) वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को स्पर्श करती है,तो

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यदि $d$ दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है,$r_1$ और $r_2$ उनकी त्रिज्याएँ हैं,और $d = r_1 + r_2$ है,तो

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