बिंदु (0, 1) से गुजरने वाले और वक्र y = x^2 क | vedclass

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Question

(C) परवलय $y = x^2$ के लिए $(2, 4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{1}{2}(y + 4) = x(2)$ अर्थात $4x - y - 4 = 0$ है।चूंकि वृत्त इस बिंदु पर स्पर्श करत

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$\left( \frac{-16}{5}, \frac{53}{10} \right)$

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(C) परवलय $y = x^2$ के लिए $(2, 4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{1}{2}(y + 4) = x(2)$ अर्थात $4x - y - 4 = 0$ है।चूंकि वृत्त इस बिंदु पर स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त का केंद्र $(h, k)$ बिंदु $(2, 4)$ पर अभिलंब (normal) पर स्थित होगा।स्पर्श रेखा की ढाल $4$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{4}$ होगी।अभिलंब का समीकरण $y - 4 = -\frac{1}{4}(x - 2)$ अर्थात $x + 4y = 18$ है।अतः,$h + 4k = 18$ $(i)$.वृत्त $(0, 1)$ और $(2, 4)$ से गुजरता है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ से इन बिंदुओं की दूरी समान होगी:$(h - 2)^2 + (k - 4)^2 = (h - 0)^2 + (k - 1)^2$.इसे सरल करने पर $4h + 6k = 19$ $(ii)$ प्राप्त होता है।समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$k = \frac{53}{10}$ और $h = -\frac{16}{5}$ प्राप्त होता है।अतः,केंद्र $\left( -\frac{16}{5}, \frac{53}{10} \right)$ है।

बिंदु $(0, 1)$ से गुजरने वाले और वक्र $y = x^2$ को $(2, 4)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।

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समतल में क्षेत्रों $A=\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 100\}$ और $B=\{(x, y) \mid \sin (x+y)>0\}$ पर विचार करें। तब,क्षेत्र $A \cap B$ का क्षेत्रफल $....\pi$ है।

मूल बिंदु से गुजरने वाले और $y=x+1$ को व्यास के रूप में रखने वाले सबसे छोटे वृत्त के केंद्र के निर्देशांक हैं

$3x - 4y + 5 = 0$ और $6x - 8y - 9 = 0$ रेखाओं को स्पर्श करने वाले किसी भी वृत्त की त्रिज्या क्या है?

उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र $(3, -1)$ है और जो रेखा $2x - 5y + 18 = 0$ पर $6$ लंबाई की जीवा काटता है।

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