${x^2}\frac{{dy}}{{dx}} = 2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે એક વક્ર $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\cos \left(\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right) d x=\sqrt{e^{2 x}-1} \,d y$ નો ઉકેલ છે. જો તે $y$-અક્ષને $y=-1$ પર છેદે છે,અને વક્રનું $x$-અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ $(\alpha, 0)$ હોય,તો $e^{\alpha}$ ની કિંમત $.....$ છે.

જો $\frac{dy}{dx} + \frac{2^{x-y}(2^y - 1)}{2^x - 1} = 0$,$x, y > 0$,અને $y(1) = 1$ હોય,તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો.

$\frac{dy}{dx} + \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) = \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = 1 - x^{2} - y^{2} + x^{2}y^{2}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$(x+y)^{2} \frac{dy}{dx} = a^{2}$ (જ્યાં $a$ અચળ છે) નું ઉકેલ શોધો.