બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ નો બિંદુપથ,જે એવી શરત હેઠળ ગતિ કરે છે કે રેખા $y = \alpha x + \beta$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક છે,તે શું છે?

હાયપરબોલા (અતિવલય) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,જો તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $8$ હોય અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2\sqrt{41}$ હોય,તો તેના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

જો અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર અને નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $3: 2$ ના ગુણોત્તરમાં હોય,તો $a: b$ શોધો.

જો અતિવલયનો નાભિલંબ $8$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{3}{\sqrt{5}}$ હોય,તો અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં અતિવલયની અનુપ્રસ્થ અને સંયુગ્મી અક્ષની લંબાઈ અનુક્રમે $2a$ અને $2b$ છે,અને આ અતિવલયનું એક નાભિ અને અનુરૂપ નિયામિકા અનુક્રમે $(-5, 0)$ અને $5x + 9 = 0$ છે. જો અતિવલય પરના બિંદુ $(\alpha, 2\sqrt{5})$ ના નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $p$ હોય,તો $4p$ ની કિંમત . . . . . . છે.

$\gamma$ ના કયા મૂલ્ય માટે રેખા $y = 2x + \gamma$ એ અતિવલય $16x^{2} - 9y^{2} = 144$ ને સ્પર્શે છે?