वास्तविक मानों lambda की संख्या,ताकि रैखिक सम | vedclass

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Question

(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ शून्य होना चाहिए और निकाय असंगत होना चाहिए।गुणांक आव्यूह $A = \begin{b

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$2$

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(C) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ शून्य होना चाहिए और निकाय असंगत होना चाहिए।गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \ 1 & 3 & -1 \ 3 & -1 & \lambda^2 - |\lambda| \end{bmatrix}$ है।सारणिक $\Delta$ की गणना करने पर:$\Delta = 2(3(\lambda^2 - |\lambda|) - 1) + 3(1(\lambda^2 - |\lambda|) - (-3)) + 5(-1 - 9)$$= 2(3\lambda^2 - 3|\lambda| - 1) + 3(\lambda^2 - |\lambda| + 3) + 5(-10)$$= 6\lambda^2 - 6|\lambda| - 2 + 3\lambda^2 - 3|\lambda| + 9 - 50$$= 9\lambda^2 - 9|\lambda| - 43$.$\Delta = 0$ रखने पर,$9|\lambda|^2 - 9|\lambda| - 43 = 0$ प्राप्त होता है।माना $t = |\lambda|$। तब $9t^2 - 9t - 43 = 0$।विविक्तकर $D = (-9)^2 - 4(9)(-43) = 81 + 1548 = 1629 > 0$।चूंकि $D > 0$,$t$ के लिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। मूल $t = \frac{9 \pm \sqrt{1629}}{18}$ हैं।चूंकि $\sqrt{1629} \approx 40.36$,एक मूल धनात्मक है और एक ऋणात्मक है।चूंकि $t = |\lambda| \ge 0$,केवल धनात्मक मूल ही मान्य है।अतः,$|\lambda|$ के लिए केवल $1$ मान प्राप्त होता है,जो $\lambda$ के $2$ मानों (अर्थात $\lambda = \pm t$) को दर्शाता है।

वास्तविक मानों $\lambda$ की संख्या,ताकि रैखिक समीकरण निकाय $2x - 3y + 5z = 9$,$x + 3y - z = -18$,और $3x - y + (\lambda^2 - |\lambda|)z = 16$ का कोई हल न हो,है :-

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यदि समीकरणों के निकाय $x+2y+3z=6$,$x+3y+5z=9$,और $2x+5y+az=b$ का अद्वितीय हल है,तो:

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